Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» icon

Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты»




Скачать 54.22 Kb.
НазваниеУрок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты»
Дата20.10.2012
Размер54.22 Kb.
ТипУрок
источник

Интегрированный урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме « Сложные проценты» - профильный уровень.

Цель: познакомить с методами решения экономических задач, опираясь на математические знания по темам « Проценты» и «Последовательности. Пределы»

Форма проведения: семинарское занятие

Наглядность: банковские формулы, информация о банках Оренбуржья ( рекламные материалы)

Ход урока.

  1. Сообщение темы и цели урока.

  2. Информация о банковской системе в г. Оренбурге.

  3. Решение задач экономического характера.

Рассмотрим некоторые задачи экономического характера, на примере которых формируется интегративность математических знаний .

Пример1. Пусть вкладчик положил на счёт в банке 25 000 руб. и в течение трёх лет не будет снимать деньги со счёта. Подсчитаем, сколько денег будет на счету вкладчика через три года, если банк выплачивает 30% в год и проценты после каждого начисления присоединяются к начальной сумме Sо = 25000 руб. т.е. капитализируются.

По прошествии первого года сумма начисленных процентов составит

R1 = Sо•0,3 = 25000•0,3=7500руб

Поскольку проценты капитализируются, то в конце первого года на счёте вкладчика окажется сумма

S1=So + R1 = 25000 + 7500 = 32500 руб.

В конце второго года банк будет начислять проценты на новую сумму S1=32500 руб., и сумма начисленных процентов составит уже

R2 = S1•0,3 = 32500•0,3 = 9750руб.

Капитализация этих процентов приводит к тому, что в конце второго года на счёте вкладчика окажется сумма S2 = S1 + R2 = 32500 + 9750=42250руб.

В конце третьего года банк будет начислять проценты уже на новую сумму S2=42250руб., и поэтому сумма начисленных процентов составит

R3 = S2•0,3 = 42250•0,3 = 12675 руб.

Эти проценты снова капитализируются, и поэтому в конце третьего года на счёте вкладчика будет находиться S3 = S2 + R3 = 42250 + 12675=54925руб.

Наши вычисления закончены: к концу третьего года вклад увеличился на величину S3 – S0 = 54925 – 25000 = 29925 руб. или на 29925•100\25000=119,7%

Для сравнения вычислим сумму денег на счёте, если бы начислялись простые проценты. Тогда S0 =25000 руб., p=30% n=3 и S3 = S0 (1+n•p/100) = 25000•(1+3•30/100) = 47500руб.

Эта сумма на 7425 руб. меньше чем при начислении сложных процентов

Приведём в общем случае расчёты, описанные в этом примере. Пусть вкладчик внёс на свой счёт в банке S0 руб. банк выплачивает p% годовых по схеме сложных процентов. Выясним, как изменится сумма денег на счёте вкладчика в зависимости от количества лет, которых вклад S0 руб. находился в банке. Через один год сумма начисленных процентов составит S0• p/100 руб. и на счёте вкладчика будет

S1 = S0 + S0• p/100 (1) или S1 = S0 (1+p/100)

На основании равенства (1) получаем S2 = S0 (1+p/100)2 (2) в конце третьего года банк вновь начислит p% уже на сумму S2 руб., а поэтому сумме S2 руб. увеличится на S2• p/100 руб. и на счёте вкладчика уже станет S3 = S2 + S2• p/100 = S2(1+p/100)

Учитывая равенство (2) можно записать S3 = S0 (1+p/100)3

Теперь понятно, что если первоначальный вклад S0 руб. пролежат в банке n-лет, то сумма денег на счёте вкладчика достигнет (в рублях) величина

Sn = S0 (1+p/100)n , n= 1,2,3,….(3)

Формула (3) даёт решение поставленной задачи и называется формулой сложенных процентов1

Пример2 В банк внесена сумма 50000руб. Банк начисляет сложные проценты по ставке 15% годовых. Какая сумма будет на счёте вкладчика через 8 лет?

Решение Применим формулу (3) при S0 =50000 руб. p=15% n=8лет, тогда

S8 = 50000 (1+0,15)8 =152951

^ Пример3 Банк начисляет сложные проценты по ставке 25% годовых. Через сколько лет вклад 216000 возрастет до 421875 руб.?

Решение Найдём n из формулы (3) Имеем: Sn = 421875 руб., Sо = 216000 руб. p=25% Поэтому 421875=216000•(1+0,25)n , отсюда 125/64=(5/4)n

(5/4)3 =(5/4)n n=3

Многократное начисление процентов в течение одного года. Число е.

Будем считать, что если за год банк выплачивает вкладчику p%, то за полугодие он выплатит 0,5p%, за один месяц -1/12 p% и вообще за 1/n часть года p%2 . выясним, как изменяется счёт вкладчика, если проценты начисляются несколько раз в течение года.

Рассмотрим сначала частный случай, когда банк выплачивает 100% годовых. Пусть вкладчик внёс на свой счёт в банке сумму S0 руб. сроком на один год. Тогда через год на счёте вкладчика окажется сумма 2S0 руб. История не сохранила нам имени того хитрого вкладчика, который первым сообразил, что если банк будет начислять проценты на вклад через полугодие, т.е. два раза в год, то через год на его счёте окажется сумма больше, чем 2S0 руб.Действительно, за первое полугодие банк выплатит 50% т.е.1/2S0 руб. и на счёте окажется сумма

S1 = S0 +1/2 S0 = S0•(1+1/2) (1)

Вместе с первоначальным вкладом S0 руб. наш вкладчик в конце года оказался обладателем суммы

S2 = S0 •(1+1/4)=2S0 + 1/4S0 = S0•(1+1/2)2 (2)

Формулы (1) и (2) показывают, что за первое полугодие вклад увеличился в 1.5 раза, а затем новая, увеличенная сумма ещё раз увеличилась в 1.5 раза, т.е. начально вклад увеличился в 1.52 =2.25 раза. Вообще, если проценты будут начисляться n раз в год по ставке 100/n%, то на счете вкладчика окажется сумма Sn = S0 (1+n/100)n (3) из формулы (3) видно, что определяющим является множитель (1+n/100)n

Приведём таблицу


n

1

2

3

4



12



100



365



1000



8760







(1+n/100)n

2

2,25

2,3703

2,4404




2,6139




2,7047




2,71149




2,71169




2,7181




(1)

Если бы мы захотели продолжить таблицу далее, то при n=100000 имели бы (1+1/100000)100000 = 2,71826763, а при = 1000000

(1+1/1000000)1000000 = 2,71828047

Из таблицы (1) следует, что с ростом числа n= члены последовательности (1+n/100)n возрастают

Можно доказать, что члены последовательности (1+n/100)n с ростом n неограниченно приближаются к числу, обозначенному в математике буквой е и равному 2,718281828459045… При этом для всех значений n справедливо неравенство (1+n/100)n ‹ е и более того lim (1+n/100)n

Пример4 Пусть сумма S0 = 20000 руб. внесена в банк под сложные проценты по ставке p% годовых. Пусть она внесена в год по ставке p/3%. Выясним, какая сумма будет находиться на счёте в конце второго года.

За два года произойдет 2•3=6 начислений процентов по ставке p/3% и поэтому

S= S0•(1+p/3•100)2•3 = S0•(1+p/3•100)6

Так, при S0 = 20000 руб. и p=30% величина вклада через 2 года при трёх начислениях в течение каждого года достигнет значения 20000•(1+30/3•100)6 =20000•(1.1)6 = 35431,22

Теперь рассмотрим общий случай. Если вклад S0 находится на счёте в банке n лет и каждый год проценты начисляются m раз по p/m 5, то после первого начисления процентов на счёте будет лежать сумма S1= S0•(1+p/m•100)

Подобные занятия позволяют учащимся самостоятельно решать трудные проблемы, выйдя из привычной роли наблюдателя и потребителя; создают возможность переноса знаний и опыта деятельности из учебной ситуации в реальную.



Похожие:

Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconУрок математики в 5-м классе по теме: "Уравнения. Решение задач с помощью уравнений"
Учебник: Математика: учеб для 5 кл общеобразоват учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. М.: Мнемозина,...
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconРазработка урока математики в 6 классе по теме «дроби. Проценты. Диаграммы»
Цели урока: дидактическая : научить применять полученные знания при решении задач с
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconТема урока : «Решение задач на проценты»
Закрепление и углубление материала в процессе решения различных задач по указанной теме
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconУрок математики в 3 «Б» классе. 26. 02. 09 Учитель Мартьянова Любовь Александровна Тема: Решение текстовых задач с помощью схем и чертежей Цели
Проанализируйте результаты, поделитесь своими наблюдениями, есть ли улучшения, сделайте выводы
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconУрок по русскому языку в 9 классе по теме: «Тире в бессоюзном предложении». (учитель Шевцова Н. В.)
Открытый урок в 8 «Б» классе по теме: «Шинель» Н. В. Гоголя повесть о любви» (учитель Пархоменко Т. Н.)
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconУрок математики Тема: Структура задачи. Решение задач. Составил: учитель начальных классов Тушкова С. А. Тема: Структура задачи. Решение задач. Цели
Оборудование: наглядное пособие дидактическая игра «Подбери ключик», примеры, конверты с цифрами, конверт с открытками
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconУрок математики в 5 классе
Систематизировать знания обучающихся по теме «Действия с обыкновенными дробями»: сложение, вычитание, умножение, деление, сравнение...
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconУрок математики в 6 классе по теме: «Умножение и деление обыкновенных дробей»
На примере решения тестового задания на ЭВМ формировать умение прогнозировать и предвидеть результат своей работы
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconУрок математики по «Программе 2100» во 2 классе по теме: «Умножение на 0 и на 1» учителя начальных классов Марцинковской Оксаны Романовны
Развивать внимание, память, мыслительные операции, речь, творческие способности, интерес к математике
Урок математики в 10 классе «Решение экономических задач по теме «Сложные проценты» iconУрок практикум по теме: «Решение дробно-рациональных уравнений» 8 класс Разработано: учителем математики моу «сош» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми
«5», за 2 место и за 3 место «4», за 4 место «3», «2» получает тот, кто за весь урок не получил ни одного жетона
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib3.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Лекции
Доклады
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Программы
Методички
Документы
Документы