«Анизотропное» пространство icon

«Анизотропное» пространство




Скачать 51.13 Kb.
Название«Анизотропное» пространство
Дата16.05.2013
Размер51.13 Kb.
ТипДокументы
источник

«Анизотропное» пространство.




Вейник В.А.



Рукопись, 29 августа 1982 года.


Рассмотрим множество V, элементами которого служат упорядоченные наборы действительных чисел вида , где i = 1, 2,..., n чисел в каждом наборе (n – фиксированное натуральное число). Элемент такого множества записывается следующим образом


=(; ; ...; ). (1)


Будем считать множество ^ V n-мерным и введём в него систему координат. Пусть начало этой системы находится в какой-либо выбранной точке 0. Сопоставим множеству V n-мерное линейное пространство с базисом ;; ...; и назовем его V-простран-ством.

Разложение радиус-вектора произвольной точки Р из множества V по базису ;; ...; будет иметь вид


= = + + ... + (2)


здесь коэффициенты разложения ; ; ...; представляют собой координаты радиус-вектора точки Р в V-пространстве.

Очевидно, что точечно-векторная аксиоматика введённого пространства будет полностью соответствовать точечно-векторной аксиоматике аффинного пространства [1, 2]. Отличие аффинного и V-пространства состоит в том, что по осям координат в V-про-странстве откладываются квадраты значений аффинных координат.

Зададим метрические свойства V-пространства билинейной скалярной функцией (,) двух векторных аргументов и , удовлетворяющих условиям симметрии и невырожденности. Запишем билинейную функцию (,) в развернутом виде:


(,) = = (3)

= + + ... + +

+ + + ... + +

...................................................

+ + + ... +


В случае, если  = , билинейная функция называется квадратичной функцией или скалярным квадратом вектора :


(,) = = (4)

= + 2 + 2 + ... + 2 +

+ + 2 +... + 2 + ... +


Если в некотором базисе окажется, что коэффициенты = 0 при ik, то в таком базисе квадратичная функция имеет канонический вид:


(,) = + + ... + (5)


Заметим, что коэффициенты могут быть как постоянными, так и переменными, т.е. зависящими от местонахождения вектора в V-пространстве и от времени существования. Однако с физической точки зрения в пространстве и во времени можно выделить достаточно малую область, в любой точке которой коэффициенты практически неизменны. Систему координат, помещённую внутри такой области, принято называть локальной системой координат.

Наиболее широкое применение имеет двухмерная локальная система координат. Скалярный квадрат радиус-вектора в такой системе записывается следующим образом:


= = + 2 + (6)


Здесь постоянные коэффициенты и представляют собой масштабы величин и , откладываемых по осям абсцисс и ординат соответственно, поэтому и никогда не могут быть равными нулю. Коэффициент зависит от степени асимметрии (или величины искажения) V-пространства, т.е. от угла между осями координат.


= f() (7)


Угол может изменяться в диапазоне от 00 до 1800, причём никогда не достигая значения 00 до 1800. В противном случае пространство вырождается и превращается в линию.

В традиционной геометрии на плоскости функцию f() приравнивают к тригонометрическому косинусу угла :


f() = cos (8)


при этом –1  f()  +1.

Отобразим локальную систему координат V-пространства на аффинную ортогональную систему координат и перепишем уравнение (6) в виде, более удобном для дальнейших выкладок. Для этого введём общепринятые обозначения


X = R; = ; =


и выполним следующие преобразования:


+ 2 f() + = R4 (9)


Пусть f() = 2q2 – 1, где q = cos .

Далее


+ 4q2 = R4 (10)


Отсюда следует


= (11)


= , (12)


где и (13)


В частном случае, когда R = 1, a = b = 1, уравнение (10) упрощается (рис.1):


+ 4q2 = 1 (14)


При этом переменные и превращаются в обобщённые нормированные функции соответственно:


сv = (15)


sv = (16)


Обе этих функции периодические и непрерывные для всех значений q, кроме q = 0.





Для нормального случая при = 00 (q = 1) уравнение (14) преобразуется в

= 1, (17)

а для гипотетического случая при = 1800 (q = 0) оно приобретает вид

= 1, (18)

Из уравнений (17) и (18) легко выводятся тригонометрические и гиперболические функции через единое безразмерное отношение


 = tg = th , (19)


где - угол между радиус-вектором и осью абсцисс в аффинной ортогональной системе координат:


сos = (20)

sin = (21)


сh = (22)

sh = (23)


В тригонометрических и гиперболических функциях аргументом должна служить не площадь сектора с центральным углом 2 [3, стр. 196-197], а параметр . Целесообразность этого объясняется структурой формул (15) и (16), а также вытекающими из них как следствие формулами (20-23) при подстановке q = 0 и q = 1.

Особо следует подчеркнуть, что в уравнениях (17) и (18), в формулах (20-23) однократное извлечение квадратного корня из правых частей неправомерно. Но тогда может быть сделан важный вывод: гиперболические функции (22) и (23) являются периодическими по аналогии с тригонометрическими функциями (20) и (21) (рис.2 и 3). Графически уравнение (18) будет изображаться замкнутой кривой за исключением четырёх точек разрыва на биссектрисах координатных углов (рис.1).










Литература.


1. Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ, изд. «Наука», М., 1967.

2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, изд. «Наука», М., 1970.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, изд. «Наука», М., 1964.


Впервые опубликовано 05.07.2005 г. на сайте Veinik.ru


Справка:


Вейник Виктор Альбертович (1945 г.р.), инженер-металлург, кандидат технических наук (1973). Окончил Московский авиационный технологический институт (1967), специалист в области сварки, металловедения, металлургии, прикладной математики.


Стр.



Похожие:

«Анизотропное» пространство iconИнтернет пространство проб и возможностей: инновациооные формы поддержки одаренных детей Васильева И. Е., директор гу яо «Центр телекоммуникаций и информационных систем в образовании»
Интернет пространство проб и возможностей: инновациооные формы поддержки одаренных детей
«Анизотропное» пространство iconИнформация об участии Курской области в Национальном конкурсе социальной рекламы «Новое пространство России» 2011-2012
Министерства образования и науки рф, Министерства спорта, туризма и молодёжной политики, Министерства обороны рф, Министерства внутренних...
«Анизотропное» пространство iconИнформационное образовательное пространство "сельская школа вуз": опыт внедрения

«Анизотропное» пространство iconСолнце над планетой поднимается -а Светом все пространство наполняется -а

«Анизотропное» пространство iconОдобрено утверждаю
Единое информационное пространство образовательного учреждения: модель; структура; основные функции
«Анизотропное» пространство iconПлан работы на декабрь2011года
Межрегиональная конференция: «Здоровьесберегающее и здоровьеформирующее образовательное пространство: теория и практика»
«Анизотропное» пространство iconЦель работы учреждения
Расширять образовательное пространство на основе интеграции различных видов деятельности
«Анизотропное» пространство iconМоу бурмакинская общеобразовательная школа №1
Создать образовательное пространство для формирования и развития компетенций учащихся на уроках географии
«Анизотропное» пространство iconЗаклинание: Наложение заклинания
Возникающий на ладони сгусток энергии, освещающий пространство. Можно задать траекторию движения и силу свечения
«Анизотропное» пространство iconРейтинг: Жанр: Предупреждение
Краткое содержание: нет времени, нет людей, только пространство и перешёптывания ветров
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib3.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Лекции
Доклады
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Программы
Методички
Документы

опубликовать

Документы