Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів icon

Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів




Скачать 466.42 Kb.
НазваниеБілогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів
страница2/4
Дата23.10.2012
Размер466.42 Kb.
ТипДокументы
источник
1   2   3   4
1. /Використання граф_к_в _ функц_й.docxБілогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів

2.4 СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ.


Степеневою називаються функція, задана на своїй природній області визначення формулою у= х а, де а - деяке фіксоване число.

При а=0, та а=1 степенева функція є лінійною, при а=2 квадратичною, при а= -1- дробово - лінійною. Властивості степеневої функції суттєво залежать від значення показника а: парність (непарність), проміжки зростання (спадання), опуклість, щільність прилягання до осей.

Графіки степеневих функцій при n≥3 називаються параболами n го степеня (при n=2 - квадратичною параболою, при n=3 - кубічною параболою).

Якщо а= -n , де n , то y=f(x)=xа=x-n=1\ x n маємо степеневу функцію з від`ємним показник . На рис 16, 17 зображений графік степеневої функції f(x)=1\xn з парним(16) і непарним(17) показником n.


Рис. 16




Рис. 17



Якщо а=1\n, де , n>1, то при n=2k-1 y=f(x)=x n==

(де yn= x) і графік функції співпадає з графіком степеневої функції f(x)=yn,який, в свою чергу, симетричний графіку функцій y=xn відносно прямої y=x (Рис. 18)



y=x

x=yn

y=xn

Рис. 18



При n=2к (парному) символом позначають так званий арифметичний корінь nго степеня з числа x0, причому yn=х, y0, а графік функцій збігається з графіком функцій f=yn, визначений на проміжку ;+), вони симетричні відносно прямої y=x (рис. 19).


Рис.19

y=x





Функції y=xn та y=, де nN є взаємно оберненими.


Якщо ж a=, де pN, qN, N, >0, то y=f(x)=x=.

Залежно від парності чисел p i q та значення функція має різні властивості при. >0 (рис 20-25)



р-парне

Рис. 20




Рис. 21

р- парне




q- непарне

q-непарне

р-непарне

р- непарне

Рис. 22




Рис. 23




Рис.23




q-парне

р-непарне

Рис. 24




q-парне




р-непарне

Рис. 25



Якщо ж а= - (від’ємний раціональний показник ), то

(Рис. 26-28)


Рис.26

p-парне




q-непарне

p-непарне

Рис. 27




Рис.28

q-парне

p-непарне



Приклад 1. у=х3-3х2+3х+1.

Розв’язання. Виділимо повний куб:

у=х3-3х2+3х-1+2=(х-1)3+2. Тоді f(х )=х3 r(1;2)

f(х)=у=(х-1)3+2.

(рис. 29)



Рис.29



Приклад 2. у=-1.

Розв’язання. Шуканий графік одержуємо з графіка функції f(х)= за допомогою паралельного перенесення системи координат на вектор r (3;1) (Рис.30)


Рис.30




Рис.30



Приклад 3.

Розв`язання. Якщо позначимо f(х)== , то y=2f(х-3)+1. Шуканий графік можна отримати з графіка функції f(х) (рис. 28) рівномірним розтягом з коефіцієнтом а=2 вздовж осі ординат та наступним паралельним перенесенням системи координат на

r(-3;-1) (рис. 31).



Рис.31



2.5 РАЦІОНАЛЬНІ ФУНКЦІЇ.


Раціональні - це функції, формули яких містять лише арифметичні операції додавання, віднімання, множення, ділення. Ними є зокрема, лінійні, квадратичні, дробово-лінійні та степеневі з цілими показниками функції.

Виділяють цілі раціональні і дробово-раціональної функції. Формули перших не містять операції ділення, тобто є многочленами

f(х)=aх+…+ах+а

Степінь n многочлена і є степенем цілої раціональної функції. При n=1; 2; 3 вони і є лінійними, квадратичними і кубічними.

Загальна формула дробово-раціональної функції

f(x)=, де P(x);Q(x) – многочлени

Найбільш ефективні засоби для побудови графіків довільних раціональних функцій передбачають застосування вищої математики і виходять за межі шкільної програми.

Проте, коли не вимагається високої точності побудов, а ставиться завдання дослідити лише ескіз графіка, то можна обійтися лише елементарними діями з графікам - додаванням, відніманням, множенням і діленням графіків.

Суть прийому полягає в тому , що коли необхідно побудувати графік суми (різниці, добутку або частки) декількох функцій, то попередньо на одному й тому кресленні відносно однієї тієї ж системи координат будують графіки цих функцій (тонкими або штриховими лініями), а потім додають (віднімають, множать, ділять) ординати характерних точок цих графіків при одних і тих ж значень х. А додаткові дослідження функцій (на парність – непарність, існування асимптот, екстремуми, нулі і т. д.) допомагають уточнити остаточний графік.


Приклад 1. f(x)=x3-3x.


Розв’язання.

Будуємо графіки функцій у=х3 і у= -3х і додаємо їх (рис. 32)

Обидва графіки – доданки проходять через початок координат. Тоді через цю точку проходить і шуканий графік. Починаючи з деяких х0 значення нашої функції стає додатнім.



Рис.32

y=x3-3x

y=x3

у= -3х



х03-3х0=0; х >0, х0=. Функція f(х) - непарна , її графік симетричний відносно початку координат.

Залишилося знайти локальні екстремуми ( максимум і мінімум відповідно) (-1;2); (1;-2).

Приклад 2. y=.

Розв’язання.

D(y)=R, x. Будуємо графіки функції q1(x)=x2 q2(x)=1-x і поділимо перший з них на другий (рис.33)


Рис. 33



Знаходимо точки перетину графіків q1(x) i q2(x) з рівняння q1(x)=q2(x) : х1,2=

У точках х=0: q1(x)=0, q2(x)=0, а тому f(x)=0. Пряма х=1 є вертикальна асимптотою графіка функції f(x).

Поділили «кутом» х2 на 1-х:

2 │-х+1

х2 – х

- х

-х -1

1 отже,


Тоді, f(x) є сума лінійних функцій h1(x) = -x-1та дробово - раціональної функції h(x)=. Отже, при y= -x-1 є похилою асимптотою функція f(x). Знайдемо локальні екстремуми функції f(x): (2;-4) та (0;0).


2.6 ІРРАЦІОНАЛЬНІ ФУНКЦІЇ.


Функції, у формулах яких змінна стоїть під знаком радикала, називають ірраціональними.

Наприклад:

1) y=; (2) y=x+; (3) y=(x+1); (4)y=; (5)y= .

Графіки (2) і (3) легко побудувати шляхом додавання і відповідно множенням графіків простих функцій. Функції (4) і (5) є складені, які визначені лише в тих точках, в яких визначена внутрішня функція. Природна область визначення складеної функції є підмножиною природної області визначення її внутрішньої функції.

Для побудови ескіза складеної функції y=f ((x) ), спочатку будують графік її внутрішньої функцій y=(x), а потім, враховуючи значення ординат цієї функції у ряді характерних точок та властивості зовнішньої функції f (x), отримують характерні точки і сам графік функції f((x) ). З допомогою додаткового дослідження можна значно уточнити окремі особливості шуканого графіка.


Приклад 1. y=f(x)=


Розв’язання:

(x)=1+

Оскільки 1+>1, то < 1+. Отже, графік f(x) знаходиться під графіком , спільна точка (0;1) (Рис.34). Функція f(x) – парна, зростає на .

При достатньо великих х і чим більше х, тим точніша ця наближена рівність. Отже, у= х і у= -х є похилі асимптоти шуканого графіка.


Рис.34

y=x

y=x2+1



Приклад 2. y=f(x)=


Розв’язання.

, якщо х[-1;1]. Отже, D(f(x))= [-1;1].

Графік f(x) проходить над графіком (х), вони мають три спільні точки (-1;0), (0;1), (1;0).

Якщо піднести до квадрату обидві частини рівності y=, то одержимо x2+y2=1. Отже, графік y=- півколо у верхній півплощини. (Рис.35)



Рис.35

y=1-x2



2.7 ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ.


1. 10. 19.

2. 11. 20.

3. 12. 21.

4. 13. 22.

5. 14. 23.

6. 15. 24.

7. 16.

8. 17.

9. 18.


Відповіді до задач.

Задача №1


Задача №2


Задача №3


Задача №4


Задача №5


Рис. 5



Задача №6


Рис.6



Задача №7


Задача №8


Рис.8



Задача №9


Рис.9



Задача №10


Задача №11


Рис. 11


Задача №12


Рис.12



Задача №13


Рис.13



Задача №14


Рис.14



Задача №15


Рис.15



Задача №16


Рис. 16



Задача №17


Рис. 17



Задача №18


Рис.18



Задача №19


Рис. 19



Задача №20


Рис. 20



Задача №21


Рис. 21



Задача №22


Рис.22



Задача №23


Рис. 23



Задача №24


Рис.24



3. ГРАФІКИ ФУНКЦІЇ ПРИ РОЗВ`ЯЗУВАННІ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ.


Вміння будувати графіки функції дає змогу ефективним засобом досліджувати рівняння на існування та кількість розв`язків, розв`язувати рівняння, нерівності, задачі з параметрами, звертаючись до відповідних графічних інтерпретацій на координатній площині . Це можливо і у випадку не функціональних залежностей (наприклад, рівняння кола х22=1).

Надалі побудови графіків не пояснюємо.


Приклад 1. Розв`язати рівняння

Розв’язання.

Графік функції перетинатимемо сім`єю прямих (рис. 1)

Задане рівняння має розв`язки при (при а<0 спільних точок графіки і не мають).

При а=0 маємо два розв’язки х1 = -1, х2 = 3.

При графіки перетинаються в чотирьох точках (маємо чотири розв`язки ). Вони є розв`язками рівнянь:

x2-2x-3=a i - (x2-2x-3)=a

x1,2=1± x3,4=1±

При а=4 рівняння має три розв’язки (пряма а=4 дотикається до параболи у=-(х2-2х-3) і перетинає параболу у=х2-2х-3).

Тоді

При розв’язків два. Це корені рівняння



Відповідь. При

При

При

При

При а<0: розв’язків немає.



у=х2-2х-3

у= -(х2-2х-3)

у=5

у=4

у=2

у=0

Рис. 1



Приклад 2. При яких значеннях параметра а рівняння має рівно три розв’язки? Знайти їх.

Розв’язання.

Графік перетинатимемо прямими (рис 2). Рівняння має три розв’язки при тих значеннях а, коли січна пряма у=х+а перетинається з графіком f(x) у трьох точках, зокрема коли проходить через точки або (0;1). Підставивши у рівняння у=х+а, знаходимо

Значенню відповідає а також розв’язки х2, х3, що визначаються із систем:

Тоді

Аналогічно знаходимо розв’язки, що відповідають значенням



Відповідь: При

При



у=х

у=х+0,5

у=х+1

Рис. 2



Приклад 3. Знайти всі значення параметра а, при яких найбільше значення функції менше 2.

Розв’язання.

Треба знайти всі такі значення а, для кожного з яких при всіх х f(x)>2. Тоді > ах-2.

Побудуємо графік функції і перетинатимемо його прямими (рис 3). Всі ці прямі проходять через точку (0; 2).

Шукані значення а відповідають випадкам, коли прямі у=ах-2 лежать нижче графіка f(x). Перша з них проходить через точку (-4;0); тоді . Друга дотикається до параболи у=х2+6х+8, тоді а>0. Визначити його можна з умови дотику прямої до параболи, тобто коли рівняння х2+6х+8=ах-2 має єдиний розв`язок.

D=а2-12а-4=0 при . (а>0).

Відповідь: .


При розв`язуванні рівнянь з параметром допомагає графічна інтерпретація їх із зміною х та параметром а на координатній площині Оха , коли параметру а надається характер змінної величини, рівноправної із змінною х .

1   2   3   4



Похожие:

Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconПоложення про районний методичний кабінет. Серед пріоритетних напрямків освітньої, науково-методичної діяльності сьогодні важливо виділити наступні
Районний методичний кабінет відділу освіти Білогірської рда здійснює свою діяльність у відповідності до ст. 12,14,19 Закону України...
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconБілогірський райметодкабінет методичний посібник на тему: "розвиток зв'язного мовлення дошкільнят"
Культура мовленнєвого спілкування – це дотримання на практиці сукупності вимог до правильного мовлення, що відповідає комунікативним...
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconБілогірський райметодкабінет виховуємо здорову дитину / методичний бюлетень
Повернення сучасного суспільства до культури особистості, її духовного світу та здоров’я стало домінантою цивілізованого розвитку....
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconДокументи
1. /Методичний бюлетень.doc
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconСписок вчителів криворізької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №120 на 1 жовтня 2011
До списку включається директор школи, заступник директора школи, всі вчителі (сумісники І основні працівники), штатні піонерські...
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconДокументи
1. /Педагог_чне прання методичний зах_д.doc
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconДокументи
1. /Методичний бюлетень по самоосв робот_.doc
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconДокументи
1. /Методичний бюлетень Правова осв_та _ виховання.doc
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconДокументи
1. /Методичний бюлетень Правова осв_та _ виховання.doc
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconПоложення про кабінет інформатики та інформаційно-комунікаційних технологій навчання загальноосвітніх навчальних закладів
Закону України "Про загальну середню освіту" (651-14), з метою підвищення рівня організації навчально-виховного процесу й оснащення...
Білогірський районний методичний кабінет Миклаcькa зош І-ІІ ступенів iconМетодичні рекомендації щодо оформлення навчальних кабінетів з базових дисциплін у середніх загальноосвітніх закладах
В ньому проводяться уроки, гурткові, позакласні І факультативні заняття, вихов­на робота з учнями, систематичне підвищення нау­кової,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib3.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Лекции
Доклады
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Программы
Методички
Документы

опубликовать

Документы